Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

U-критерий Манна-Уитни (Mann-Whitney U test) — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по признаку, измеренному в количественной или порядковой шкале. U-критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Другие названия: критерий Манна-Уитни-Уилкоксона (Mann-Whitney-Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона-Манна-Уитни (Wilcoxon-Mann-Whitney test, WMW).

Содержание

Примеры задач

Пример 1. Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.

Пример 2. Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.

Пример 3. Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка — дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.

Описание критерия

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительные предположения:

  • обе выборки простые, объединённая выборка независима;
  • выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений F(x) и G(y) соответственно.

Нулевая гипотеза H_0:\; \mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2.

Статистика критерия:

  1. Построить общий вариационный ряд объединённой выборки x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)} и найти ранги r(x_i),\; r(y_i) всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
  2. Вычислить суммарные ранги обеих выборок и статистику Манна-Уитни U:
R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);\;\;\;\; U_x = mn + \frac12m(m+1) - R_x;
R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);\;\;\;\; U_y = mn + \frac12n(n+1) - R_y;
U = \min\left\{U_x,U_y\right\}.

Замечание: менее рациональный способ вычисления статистик Манна-Уитни U_x,\: U_y:

U_x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i < y_j\right];
U_y = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i > y_j\right].

Критерий (при уровне значимости \alpha):

Критическая область асимптотического критерия Манна-Уитни.
Критическая область асимптотического критерия Манна-Уитни.
  • против альтернативы H_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} \neq 1/2
если U \notin \left[ U_{\alpha/2},\, U_{1-\alpha/2} \right] , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H'_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} > 1/2
если U_x > U_{1-\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H''_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} < 1/2
если U_y > U_{1-\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

где U_{\alpha} есть \alpha-квантиль табличного распределения Уилкоксона-Манна-Уитни с параметрами m,\,n.

Асимптотический критерий: нормированная и центрированная статистика Манна-Уитни

\tilde U = \frac{U-\frac12mn}{\sqrt{\frac1{12}mn(m+n+1)}}

асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при m,\,n > 8.

Свойства и границы применимости U-критерия

Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу однородности H_{00}:\; F(x)=G(y), то есть что две выборки взяты из одного и того же распределения. U-критерий не является состоятельным против общей альтернативы H_1:\; F(x) \neq G(y). Это означает, что гипотеза однородности будет приниматься чаще, чем она на самом деле верна. Существуют ситуации, когда гипотеза H_{0} верна, а более сильная гипотеза однородности H_{00} не верна [Орлов]. Для проверки однородности существуют более мощные критерии, в частности, критерий Смирнова или критерий Лемана-Розенблатта.

Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках. Существуют распределения, для которых гипотеза H_{0} верна, но их медианы различны.

U-критерий можно применять для проверки гипотезы сдвига в качестве альтернативной H_{1}:\; F(x)=G(x+r), где r — некоторая константа, отличная от нуля. При этой альтернативе U-критерий является состоятельным. Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения G(x) описывает погрешности измерения одного значения, а G(x+r) — другого. Однако во многих приложениях (в частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом.

U-критерий является непараметрическим аналогом критерия Стьюдента. Если выборки нормальные, то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента.

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном. В 1947 году он был существенно переработан и расширен Манном и Уитни, по именам которых сегодня обычно и называется.

Литература

  1. Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947, №18. — Pp. 50-60.
  2. Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. 1945. — Pp. 80–83.
  3. Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с. (§4.5 Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?)
  4. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Ссылки

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0-%D0%9C%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0-%D0%A3%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%B8»
Личные инструменты