Критерий Лемана-Розенблатта
Материал из MachineLearning.
Критерий Лемана-Розенблатта (Lehmann-Rosenblatt) — двухвыборочный непараметрический критерий согласия, похожий на Критерий омега-квадрат.
Другие названия: критерий Розенблатта (Rosenblatt).
Содержание |
Примеры задач
Задача - проверить сходство уровней интеллекта среди мужчин и женщин по двум выборкам измерений IQ.
Описание критерия
Заданы две выборки
Дополнительные предположения:
- обе выборки простые, объединённая выборка независима;
- выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений и соответственно.
Нулевая гипотеза при всех .
Альтернативная гипотеза при некотором .
Критерий Лемана-Розенблатта применяется для проверки гипотезы однородности против альтернативы неоднородности .
Статистика критерия:
где , - эмпирические функции распределения выборок, а - эмпирическая функция, построенная по объединённой выборке .
Согласно [2, стр 86] значение статистики зависит лишь от рангов элементов выборки:
где - ранг , а - ранг в объединённом вариационном ряде двух выборок.
Критерий (при уровне значимости ):
При выполнении гипотезы , а также при условии, что
закон распределения стремится к предельному закону (М.Розенблатт, 1952 г.), приведённому в [2, стр. 83]. Здесь мы приведём лишь таблицу некоторых квантилей этого закона:
0.5 | 0.15 | 0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.001 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.12 | 0.28 | 0.35 | 0.46 | 0.58 | 0.74 | 1.17 |
Критерий имеет правостороннюю критическую область и при попадании значения статистики в полуинтервал гипотеза отвергается.
Малый размер выборок:
Использование нормированной и центрированной статистики
где
обеспечивает удовлетворительную точность приближения критических значений уже при .
Литература
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 2009.
- Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. —М. Наука. 1983.
- Lehmann E.L. Consistency and unbiasedness of certain nonparametric tests / Ann. Math. Statist. – 1951. V.22. № 1. – P.165-179.
- Rosenblatt M. Limit theorems associated with variants of the von Mises statistic // Ann. Math. Statist. – 1952. V.23. – P.617-623.
Ссылки
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Статистика (функция выборки)
- О критерии Лемана-Розенблатта на сайте Новосибирского государственного технического университета