Функция распределения случайной величины

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск
Статья написана с использованием LLM GPT-5.6 Thinking и проверена участником К.Н.Гибадуллина 22:50, 14 июля 2026 (MSD)


Содержание

Функция распределения случайной величины

Функция распределения случайной величины — один из основных способов описания распределения вероятностей. Она показывает, с какой вероятностью значение случайной величины окажется не больше заданного числа.

Интуитивно функцию распределения можно представить как накопленную вероятность. При движении слева направо по числовой прямой учитывается всё больше возможных значений случайной величины. Поэтому функция распределения постепенно возрастает от нуля до единицы.

Определение

Пусть X — случайная величина. Её функцией распределения называется функция

F_X(x)=P(X\le x).

Здесь X — случайная величина, x — произвольное действительное число, а F_X(x) — вероятность того, что случайная величина X примет значение, не превосходящее x.

Например, равенство

F_X(3)=0{,}8

означает, что вероятность события X\le 3 равна 0{,}8.

Функция распределения существует у любой случайной величины и полностью определяет её вероятностное распределение.

Основные свойства

Любая функция распределения обладает следующими свойствами.

  • Для каждого значения x выполняется

0\le F_X(x)\le 1.

Это связано с тем, что функция распределения является вероятностью некоторого события, а вероятность всегда находится между нулём и единицей.

  • Функция F_X(x) не убывает. Если x_1\lt x_2, то

F_X(x_1)\le F_X(x_2).

Действительно, событие X\le x_1 содержится в событии X\le x_2. При увеличении числа x множество учитываемых значений случайной величины расширяется, поэтому вероятность не может уменьшаться.

  • Функция распределения непрерывна справа:

\lim_{t\to x+0}F_X(t)=F_X(x).

Это означает, что при приближении аргумента к точке x справа значения функции стремятся к F_X(x).

  • При стремлении аргумента к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю:

\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0.

При очень малом значении x событие X\le x становится маловероятным.

  • При стремлении аргумента к плюс бесконечности функция распределения стремится к единице:

\lim_{x\to+\infty}F_X(x)=1.

При достаточно большом значении x событие X\le x включает почти все возможные значения случайной величины.

Вычисление вероятностей

С помощью функции распределения можно находить вероятности попадания случайной величины в различные промежутки. Для a\lt b выполняется

P(a\lt X\le b)=F_X(b)-F_X(a).

Функция F_X(b) содержит вероятность всех значений, не превосходящих b. После вычитания F_X(a) остаётся вероятность значений, которые больше a, но не превосходят b.

Вероятность того, что случайная величина примет отдельное значение x, равна величине скачка функции распределения в этой точке:

P(X=x)=F_X(x)-F_X(x-0),

где

F_X(x-0)=\lim_{t\to x-0}F_X(t)

— левый предел функции распределения в точке x.

Если функция распределения непрерывна в точке x, то скачок отсутствует и

P(X=x)=0.

Примеры

Распределение Бернулли

Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую распределение Бернулли:

P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p,

где

0\le p\le 1.

Случайная величина может принимать только два значения: 0 и 1. Её функция распределения имеет вид

F_X(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\lt 0,\\ 1-p, & 0\le x\lt 1,\\ 1, & x\ge 1. \end{array} \right.

При x\lt 0 ни одно из возможных значений случайной величины не удовлетворяет условию X\le x, поэтому функция распределения равна нулю.

При 0\le x\lt 1 условию X\le x удовлетворяет только значение X=0. Поэтому

F_X(x)=P(X=0)=1-p.

При x\ge 1 учитываются оба возможных значения, поэтому

F_X(x)=1.

График функции распределения Бернулли имеет скачки в точках 0 и 1. Величина скачка в точке 0 равна 1-p, а величина скачка в точке 1 равна p. Эти величины совпадают с вероятностями соответствующих значений случайной величины.

Равномерное распределение на отрезке

Пусть случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. Это означает, что вероятность попадания в промежуток внутри отрезка пропорциональна длине этого промежутка.

Функция распределения имеет вид

F_X(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\lt 0,\\ x, & 0\le x\le 1,\\ 1, & x\gt 1. \end{array} \right.

При x\lt 0 случайная величина не может принять значение, не превосходящее x, поэтому функция распределения равна нулю.

При 0\le x\le 1 вероятность события X\le x равна длине отрезка от 0 до x. Поэтому

F_X(x)=x.

При x\gt 1 событие X\le x происходит с вероятностью единица.

В этом примере функция распределения непрерывна и не имеет скачков. Поэтому вероятность принятия любого отдельного значения равна нулю:

P(X=x)=0.

Это не означает, что случайная величина не принимает никаких значений. Положительную вероятность имеют промежутки. Например,

P(0{,}2\lt X\le 0{,}7) = F_X(0{,}7)-F_X(0{,}2) = 0{,}5.

Связь с плотностью распределения

Для дискретной случайной величины функция распределения строится суммированием вероятностей всех возможных значений, не превосходящих x:

F_X(x)=\sum_{x_k\le x}P(X=x_k),

где x_k — возможные значения случайной величины.

Для абсолютно непрерывной случайной величины функция распределения связана с плотностью распределения p_X(x) формулой

F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}p_X(t)\,dt.

Таким образом, функция распределения показывает накопленную площадь под графиком плотности от минус бесконечности до точки x.

Если функция распределения дифференцируема, то плотность можно найти как её производную:

p_X(x)=F_X'(x).

Не у каждой случайной величины существует плотность. Например, функция распределения дискретной случайной величины имеет скачки и обычно не задаётся плотностью в обычном смысле. Однако функция распределения существует у любой случайной величины и полностью определяет её распределение.

Применение

Функция распределения используется для вычисления вероятностей и нахождения характеристик распределения. С её помощью определяются квантили, в том числе медиана, которая делит распределение на две части.

В математической статистике по наблюдаемой выборке строится Эмпирическая функция распределения. Она показывает долю наблюдений, не превосходящих заданного значения, и служит приближением неизвестной теоретической функции распределения.

Сравнение теоретической и эмпирической функций распределения применяется для проверки статистических гипотез и оценки соответствия выбранной вероятностной модели данным.

В анализе данных и машинном обучении функция распределения используется при исследовании ошибок модели, выборе пороговых значений, сравнении распределений признаков, оценке вероятностей редких событий и анализе результатов работы модели.

См. также

Литература

  • Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — Либроком, 2011.
  • Ширяев А. Н. Вероятность. — МЦНМО, 2007.
  • Боровков А. А. Теория вероятностей. — Едиториал УРСС, 2003.
  • Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. — Wiley, 1968.
  • Wasserman L. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. — Springer, 2004.
Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B»
Личные инструменты