Критерий Уилкоксона двухвыборочный

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 21:03, 24 декабря 2009

Содержание

1 Пример задачи
2 Описание критерия
3 Применение критерия
4 Критерий Вилкоксона и U-критерий Манна-Уитни
5 Примечания
6 Литература
7 Ссылки

Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Имеется аналог критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Пример задачи

Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является порядковой).

Описание критерия

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R};\; m \le n,$ в противном случае следует поменять выборки местами.

Дополнительное предположение: обе выборки простые, объединённая выборка независима;

Нулевая гипотеза $H_0:\; \mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2.$

Вычисление статистики критерия:

Построить общий вариационный ряд объединённой выборки $x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}$ и найти ранги $r(x_i),\; r(y_i)$ всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
Рассчитать суммы рангов, соответствующих обеим выборкам:
$R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);$
$R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);$
Если размеры выборок совпадают ( $m=n$ ), то значение статистики $W$ будет равняется одной из сумм рангов $R_x$ или $R_y$ (любой). Если же выборки не равны, то $W = R_x$ , то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика $W$ линейно связана со статистикой U-критерия Манна-Уитни.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

Против альтернативы $H_1:\; \mathbb{P} \{ x < y \} \neq 1/2$ :

если $W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь $W_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль табличного распределения Уилкоксона с параметрами $m,\,n$ . ^[1]^[1]

Асимптотический критерий:

Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:

$\tilde W = \frac{W - \frac{m(m + n + 1)}{2}}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{12}}}$ ;

$\tilde W$ асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы $H_1$ ) отвергается, если $|\tilde W| > \Phi_{1-\alpha/2}$ , где $\Phi_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до $m = n = 8$ .^[1]

При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:

$\left{ \frac{mn(n+m+1)}{12} \left[ 1 - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m+1)} \right] \right}^{1/2},$ ^[1]^[1]

где $k$ - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, $t_1, \ldots, t_k$ - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину $\tilde W$ не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1.

Применение критерия

В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда $\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2$ , и средние выборок не совпадают.^[1] При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки. ^[1]

Критерий является аналогом критерия t-критерия Стьюдента для независимых выборок в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.

Критерий Вилкоксона и U-критерий Манна-Уитни

Статистики критериев Вилкоксона и Вилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.^[1] Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Вилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,^[1], а в случае равных дисперсий применять U-критерий Манна-Уитни.^[1]

Проведём эксперимент: будем строить график достигаемого уровня значимости как функцию размера выборок и параметров распределения, усреднённого по нескольким десяткам экспериментов.

графики

Примечания

Литература

Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — §4.5.

Ссылки

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни
Критерий Уилкоксона для связных выборок

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Василий Ломакин

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 31 декабря 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9»

Категории: Статистические тесты | Непараметрические статистические тесты | Непроверенные учебные задания

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Критерий Уилкоксона двухвыборочный''' (Wilcoxon) — [[непараметрический статистический критерий]]
+{{TOCright}}
-== Примеры задач ==
-'''Пример 1.'''
+'''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием [[Теория измерений|порядковой шкалы]].  Имеется [[Критерий_Уилкоксона_для_связных_выборок|аналог]] критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
-'''Пример 2.'''
+== Пример задачи ==
+Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является [[Теория измерений|порядковой]]).
 == Описание критерия ==
-Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
+Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R};\; m \le n,</tex> в противном случае следует поменять выборки местами.
-'''Дополнительные предположения:'''
+'''Дополнительное предположение:''' обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
-* обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
-* выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений <tex>F(x)</tex> и <tex>G(y)</tex> соответственно.
-'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; </tex>.
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2. </tex>
-'''Статистика критерия:'''
+'''Вычисление статистики критерия:'''
+# Построить общий вариационный ряд объединённой выборки <tex>x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}</tex> и найти ранги <tex>r(x_i),\; r(y_i)</tex> всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
+# Рассчитать суммы рангов, соответствующих обеим выборкам:
+#:<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);</tex>
+#:<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);</tex>
+# Если размеры выборок совпадают (<tex>m=n</tex>), то значение статистики <tex>W</tex> будет равняется одной из сумм рангов <tex>R_x</tex> или <tex>R_y</tex> (любой). Если же выборки не равны, то <tex>W = R_x</tex>, то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика <tex>W</tex> линейно связана со статистикой [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерия Манна-Уитни]].
-== Свойства и границы применимости критерия ==
+'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-== История ==
+Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x < y \} \neq 1/2</tex>:
+:если <tex>W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]</tex> , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь <tex>W_{\alpha}</tex>  есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона с параметрами <tex>m,\,n</tex>. <ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — ??? c.</ref><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 150 с.</ref>
+'''Асимптотический критерий''':
+Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
+:<tex>\tilde W = \frac{W - \frac{m(m + n + 1)}{2}}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{12}}}</tex>;
+<tex>\tilde W</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> |\tilde W| > \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, где <tex>\Phi_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
+Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до <tex>m = n = 8</tex>.<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.</ref>
+При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:
+:<tex>\left{ \frac{mn(n+m+1)}{12} \left[ 1 - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m+1)} \right] \right}^{1/2},</tex><ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.</ref><ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.</ref>
+:где <tex>k</tex> - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, <tex>t_1, \ldots, t_k</tex> - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину <tex>\tilde W</tex> не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1.
+== Применение критерия ==
+В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда <tex>\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2</tex>, и средние выборок не совпадают.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.</ref> При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки. <ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.</ref>
+{{TOCright}}
+Критерий является аналогом критерия [[Критерий Стьюдента|t-критерия Стьюдента для независимых выборок]] в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.
+== Критерий Вилкоксона и [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]] ==
+Статистики критериев Вилкоксона и Вилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.</ref> Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Вилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.</ref>, а в случае равных дисперсий применять [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.</ref>
+Проведём эксперимент: будем строить график [[Достигаемый уровень значимости|достигаемого уровня значимости]] как функцию размера выборок и параметров распределения, усреднённого по нескольким десяткам экспериментов.
+''графики''
+== Примечания ==
+<references/>
 == Литература ==
 # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
+# ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
+# ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с.
+# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — §4.5.
 == Ссылки ==
 * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
-* [[Статистика (функция выборки)]]
+* [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]]
+* [[Критерий Уилкоксона для связных выборок]]
 [[Категория:Статистические тесты]]

Критерий Уилкоксона двухвыборочный

Материал из MachineLearning.

Версия 21:03, 24 декабря 2009

Содержание

Пример задачи

Описание критерия

Применение критерия

Критерий Вилкоксона и U-критерий Манна-Уитни

Примечания

Литература

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты