Критерий Уилкоксона для связных выборок

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 23:10, 24 декабря 2009

Содержание

1 Пример задачи
2 Описание критерия
3 Применение критерия
4 История
5 Примечания
6 Литература
7 Ссылки

Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) для связных выборок (Wilcoxon signed-rank test) — непараметрический статистический критерий, применяемый для оценки различий между двумя зависимыми выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Пример задачи

Первая выборка - температура пациентов до начала лечения. Вторая - температура в точности этих же пациентов после введения лекарства. Требуется выяснить, повлияло ли применение лекарства на температуру больных. Выборки связные, измерены в порядковой шкале.

Описание критерия

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

Обе выборки простые.
Выборки связные, то есть элементы $x_i,\: y_i$ соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза $H_0:\; \mathbb{P} \{x_i < y_i \} = 1/2$ .

Вычисление статистики критерия:

Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. $N$ - количество ненулевых разностей.
Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
Приписать рангам знаки соответствующих им разностей.
Рассчитать сумму $R$ положительных рангов.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

Против альтернативы $H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i < y_i \} \neq 1/2$ :

если $R$ больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона $T^{+}$ ^[1]^[1] с уровнем значимости $\alpha/2$ и числом степеней свободы $N$ , то нулевая гипотеза отвергается.

Асимптотический критерий:

Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:

$\tilde T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}$ ;

$\tilde T$ асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы $H_1$ ) отвергается, если $\tilde T \ge \Phi_{1-\alpha/2}$ , где $\Phi_{1-\alpha}$ есть $(1-\alpha)$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Аппроксимация начинает работать при $N \ge 15$ .^[1]

Поправка:^[1]

В 1974 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений. Она использует линейную комбинацию нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим:

$\tilde T ^{*} = \frac12 \tilde T \left[ 1 + \sqrt{(n-1)(n - (\tilde T)^2)} \right]$ .

Гипотеза $H_0$ отвергается, если $\tilde T ^{*} \ge (x_{1-\alpha}+y_{1-\alpha})/2$ , где $x_{1-\alpha},\; y_{1-\alpha}$ обозначают соответственно квантили уровня $1-\alpha$ стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с $n-1$ степенью свободы.

Случай совпадающих наблюдений:

При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе нормированной и центрированной статистики Уилкоксона необходимо заменить на следующее:

$\left{ \frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24} \right}^{1/2},$ ^[1]

где $g$ - количество связок, $t_1, \ldots, t_g$ - их размеры. Для элементов связок вычисляется средний ранг.

Другие гипотезы:

$H_0:\;$ средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.

$H_1:\;$ средняя разница не равна A.

В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме.

Применение критерия

Метод часто используется для сравнения показателей выборки до и после эксперимента, в частности для проверки гипотезы о равенстве медиан в двух зависимых выборках. Вообще говоря, можно строить примеры, когда медианы выборок различны, а гипотеза $H_0$ верна, поэтому применять критерий для проверки такой гипотезы следует с осторожностью. Аналогичными недостатками (в своей области применения) обладают двухвыборочный критерий Вилкоксона и U-критерий Манна-Уитни.^[1]

Критерий является аналогом t-критерия Стьюдента для связанных выборок в случае распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных в количественной шкале. К нормально распределённым совокупностям следует применять более мощный t-критерий.

История

Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание аналогичного метода для случая независимых выборок.

Примечания

Литература

Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с.
Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 222-227 с.
Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. — М.: Финансы и статистика, 1983.

Ссылки

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Критерий Уилкоксона двухвыборочный
Wilcoxon signed-rank test (Wikipedia).

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BA»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Критерий Уилкоксона для связных выборок''' (Wilcoxon) — [[непараметрический статистический критерий]]
+{{TOCright}}
-== Примеры задач ==
+'''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) для связных выборок''' (Wilcoxon signed-rank test) — [[непараметрический статистический критерий]], применяемый для оценки различий между двумя '''зависимыми''' выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием [[Теория измерений|порядковой шкалы]]. Критерий является [[Ранговый критерий|ранговым]], поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
-'''Пример 1.'''
+== Пример задачи ==
-'''Пример 2.'''
+Первая выборка - температура пациентов до начала лечения. Вторая - температура в точности этих же пациентов после введения лекарства. Требуется выяснить, повлияло ли применение лекарства на температуру больных. Выборки '''связные''', измерены в [[Теория измерений|порядковой шкале]].
 == Описание критерия ==
@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
 '''Дополнительные предположения:'''
-* обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
+* Обе выборки [[простая выборка|простые]].
-* выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений <tex>F(x)</tex> и <tex>G(y)</tex> соответственно.
+* Выборки связные, то есть элементы <tex>x_i,\: y_i</tex> соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).
-'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; </tex>.
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{x_i < y_i \} = 1/2</tex>.
-'''Статистика критерия:'''
+'''Вычисление статистики критерия:'''
+# Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. <tex>N</tex> - количество ненулевых разностей.
+# Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
+# Приписать рангам знаки соответствующих им разностей.
+# Рассчитать сумму <tex>R</tex> положительных рангов.
-== Свойства и границы применимости критерия ==
+'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
+Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i < y_i \} \neq 1/2</tex>:
+: если <tex>R</tex> больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона <tex>T^{+}</tex><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 529 с.</ref><ref>Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. — Табл. А.4.</ref> с уровнем значимости <tex>\alpha/2</tex> и числом степеней свободы <tex>N</tex>, то нулевая гипотеза отвергается.
+'''Асимптотический критерий:'''
+Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
+:<tex>\tilde T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>;
+<tex>\tilde T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> \tilde T \ge \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, где <tex>\Phi_{1-\alpha}</tex> есть <tex>(1-\alpha)</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
+Аппроксимация начинает работать при <tex>N \ge 15</tex>.<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 223 с.</ref>
+'''Поправка:<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 223 с.</ref>'''
+В 1974 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений. Она использует линейную комбинацию нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим:
+<tex>\tilde T ^{*} = \frac12 \tilde T \left[ 1 + \sqrt{(n-1)(n - (\tilde T)^2)} \right]</tex>.
+Гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается, если <tex>\tilde T ^{*} \ge (x_{1-\alpha}+y_{1-\alpha})/2</tex>, где <tex>x_{1-\alpha},\; y_{1-\alpha}</tex> обозначают соответственно квантили уровня <tex>1-\alpha</tex> стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с <tex>n-1</tex> степенью свободы.
+'''Случай совпадающих наблюдений:'''
+При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе нормированной и центрированной статистики Уилкоксона необходимо заменить на следующее:
+:<tex>\left{ \frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24} \right}^{1/2},</tex><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 156 с.</ref>
+:где <tex>g</tex> - количество связок, <tex>t_1, \ldots, t_g</tex> - их размеры. Для элементов связок вычисляется средний ранг.
+'''Другие гипотезы:'''
+<tex>H_0:\; </tex> средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.
+<tex>H_1:\; </tex> средняя разница не равна A.
+В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме.
+== Применение критерия ==
+Метод часто используется для сравнения показателей выборки до и после эксперимента, в частности для проверки гипотезы о равенстве медиан в двух зависимых выборках. Вообще говоря, можно строить примеры, когда медианы выборок различны, а гипотеза <tex>H_0</tex> верна, поэтому применять критерий для проверки такой гипотезы следует с осторожностью. Аналогичными недостатками (в своей области применения) обладают [[Критерий Уилкоксона двухвыборочный|двухвыборочный критерий Вилкоксона]] и [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — §4.5.</ref>
+Критерий является аналогом [[Критерий Стьюдента|t-критерия Стьюдента для связанных выборок]] в случае распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных в количественной шкале. К нормально распределённым совокупностям следует применять более мощный t-критерий.
 == История ==
+Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание [[Критерий_Уилкоксона_двухвыборочный|аналогичного метода]] для случая независимых выборок.
+== Примечания ==
+<references/>
 == Литература ==
+# ''Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с.
+# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с.
+# ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
 # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 222-227 с.
+# ''Холлендер М., Вулф Д.'' Непараметрические методы статистики. — М.: Финансы и статистика, 1983.
 == Ссылки ==
 * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
-* [[Статистика (функция выборки)]]
+* [[Критерий Уилкоксона двухвыборочный]]
+* [http://en.wikipedia.org/wiki/Wilcoxon_signed-rank_test Wilcoxon signed-rank test] (Wikipedia).
-[[Категория:Статистические тесты]]
-[[Категория:Непараметрические статистические тесты]]
-{{Задание|Василий Ломакин|Vokov|31 декабря 2009}}

Критерий Уилкоксона для связных выборок

Материал из MachineLearning.

Версия 23:10, 24 декабря 2009

Содержание

Пример задачи

Описание критерия

Применение критерия

История

Примечания

Литература

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты