Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2014, ФУПМ/1

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (Новая: Ниже под обозначением <tex>X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,b\right]</tex> понимается выборка объёма <...)
м
Строка 4: Строка 4:
* <tex>X^n, \;\; X_i\sim Ber(p); </tex><br> <tex>H_0\,:\, p=\frac{1}{2},</tex><br> <tex>H_1\,:\, p\neq\frac{1}{2};</tex><br> <tex>p=0.01\,:\,0.01\,:\,0.99, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.</tex>
* <tex>X^n, \;\; X_i\sim Ber(p); </tex><br> <tex>H_0\,:\, p=\frac{1}{2},</tex><br> <tex>H_1\,:\, p\neq\frac{1}{2};</tex><br> <tex>p=0.01\,:\,0.01\,:\,0.99, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.</tex>
-
::1: сравнить z-критерий и точный критерий для доли.
+
::Старожилец: сравнить z-критерий и точный критерий для доли.
-
::2: сравнить критерии, основанные на доверительных интервалах Вальда и Уилсона (нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости 5%, если 95% доверительный интервал для параметра не содержит <tex>\frac{1}{2}</tex>).
+
::Вялый: сравнить критерии, основанные на доверительных интервалах Вальда и Уилсона (нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости 5%, если 95% доверительный интервал для параметра не содержит <tex>\frac{1}{2}</tex>).
* <tex>X^n, \;\; X_i\sim N(\mu,\sigma); </tex><br> <tex>H_0\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> равно нулю,<br> <tex>H_1\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> не равно нулю;<br> <tex>\mu=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.</tex>
* <tex>X^n, \;\; X_i\sim N(\mu,\sigma); </tex><br> <tex>H_0\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> равно нулю,<br> <tex>H_1\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> не равно нулю;<br> <tex>\mu=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.</tex>
-
::3: сравнить одновыборочные t- и z-критерии.
+
::Гончаров: сравнить одновыборочные t- и z-критерии.
-
::4: сравнить одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]] и критерий знаковых рангов Уилкоксона.
+
::Каледин: сравнить одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]] и критерий знаковых рангов Уилкоксона.
-
::18: сравнить одновыборочный перестановочный критерий и критерий знаковых рангов Уилкоксона.
+
::Капаев: сравнить одновыборочный перестановочный критерий и критерий знаковых рангов Уилкоксона.
* <tex>X_1^n, \;\; X_{1i} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\;\;X_2^n, \;\; X_{2i} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i};</tex> <br> <tex>\mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.</tex>
* <tex>X_1^n, \;\; X_{1i} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\;\;X_2^n, \;\; X_{2i} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i};</tex> <br> <tex>\mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.</tex>
-
::5: <tex>\mu_2=0, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.</tex> Сравнить [[критерий Фишера]] и [[WM-критерий]].
+
::Коновалов: <tex>\mu_2=0, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.</tex> Сравнить [[критерий Фишера]] и [[WM-критерий]].
-
::6: <tex>\mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=50.</tex> Сравнить [[WM-критерий]] и [[критерий Зигеля-Тьюки]].
+
::Кузнецов: <tex>\mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=50.</tex> Сравнить [[WM-критерий]] и [[критерий Зигеля-Тьюки]].
-
::19: <tex>\mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=20.</tex> Сравнить [[критерий Фишера]] и [[критерий Зигеля-Тьюки]].
+
::Петров: <tex>\mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=20.</tex> Сравнить [[критерий Фишера]] и [[критерий Зигеля-Тьюки]].
* <tex>X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,a\right];</tex> <br> <tex> H_0\,:\; X_i \sim N,</tex> <br> <tex>H_1\,:\; H_0 </tex> неверна; <br> <tex>n=10\,:\,5\,:\,100.</tex>
* <tex>X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,a\right];</tex> <br> <tex> H_0\,:\; X_i \sim N,</tex> <br> <tex>H_1\,:\; H_0 </tex> неверна; <br> <tex>n=10\,:\,5\,:\,100.</tex>
-
::7: <tex>a=1, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1.</tex> Сравнить [[критерий Шапиро-Уилка]] и [[критерий Колмогорова-Смирнова]].
+
::Хрипко: <tex>a=1, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1.</tex> Сравнить [[критерий Шапиро-Уилка]] и [[критерий Колмогорова-Смирнова]].
-
::8: <tex>a=2, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1.</tex> Сравнить [[критерий омега-квадрат|критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса]] и [[критерий Жарка-Бера]].
+
::Шепелев: <tex>a=2, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1.</tex> Сравнить [[критерий омега-квадрат|критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса]] и [[критерий Жарка-Бера]].
-
::9: <tex>a=0.5\,:\,0.1\,:\,5, \;\; p=0.25.</tex> Сравнить [[критерий Колмогорова-Смирнова]] и [[критерий хи-квадрат]].
+
::Вдовина: <tex>a=0.5\,:\,0.1\,:\,5, \;\; p=0.25.</tex> Сравнить [[критерий Колмогорова-Смирнова]] и [[критерий хи-квадрат]].
= Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений =
= Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений =
Строка 26: Строка 26:
* Одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right]; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_i=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_i\neq0.</tex> <br>
* Одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right]; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_i=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_i\neq0.</tex> <br>
-
::10: <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex>
+
::Воронов: <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex>
-
::11: <tex>\mu=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex>
+
::Гринчук: <tex>\mu=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex>
-
::12: <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=1, \;\; n=150.</tex>
+
::Катруца: <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=1, \;\; n=150.</tex>
-
::13: <tex>\mu=0.5, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=0.1\,:\,0.1\,:\,5, \;\; n=100.</tex>
+
::Кащеева: <tex>\mu=0.5, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=0.1\,:\,0.1\,:\,5, \;\; n=100.</tex>
* [[Критерий Фишера]] для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X_1^n, \;\; X_{1i} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right], \;\; X_2^n,\;\; X_{2i} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a,a\right]; </tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i};</tex> <br> <tex>\sigma_1=2, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.05\,:\,4.</tex> <br>
* [[Критерий Фишера]] для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X_1^n, \;\; X_{1i} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right], \;\; X_2^n,\;\; X_{2i} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a,a\right]; </tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i};</tex> <br> <tex>\sigma_1=2, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.05\,:\,4.</tex> <br>
-
::14: <tex>p_1=p_2=0.8, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex>
+
::Костин: <tex>p_1=p_2=0.8, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex>
-
::15: <tex>p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=3, \;\; n=100.</tex>
+
::Неклюдов: <tex>p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=3, \;\; n=100.</tex>
* [[Критерий Зигеля-Тьюки]], нарушение предположения о равенстве медиан. <br> <tex>X_1^n, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^n, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i}.</tex>
* [[Критерий Зигеля-Тьюки]], нарушение предположения о равенстве медиан. <br> <tex>X_1^n, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^n, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i}.</tex>
-
::16: <tex>\mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=50.</tex>
+
::Перекрестенко: <tex>\mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=50.</tex>
-
::17: <tex>\mu=2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex>
+
::Пушняков: <tex>\mu=2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex>
* Двухвыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о равенстве дисперсий. <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i}.</tex>
* Двухвыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о равенстве дисперсий. <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i}.</tex>
-
::20: <tex>\mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
+
::Рыскина: <tex>\mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
-
::21: <tex>\mu=1, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.</tex>
+
::Яшков: <tex>\mu=1, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.</tex>
= Анализ двухэтапных процедур проверки гипотез =
= Анализ двухэтапных процедур проверки гипотез =
Строка 47: Строка 47:
* Одновыборочная гипотеза о среднем с предварительной проверкой нормальности. Если нормальность отвергается на уровне значимости <tex>\alpha</tex>, используется критерий знаковых рангов, иначе — [[критерий Стьюдента|t-критерий]]. <br> <tex>X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right]; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_i=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_i\neq0.</tex> <br>
* Одновыборочная гипотеза о среднем с предварительной проверкой нормальности. Если нормальность отвергается на уровне значимости <tex>\alpha</tex>, используется критерий знаковых рангов, иначе — [[критерий Стьюдента|t-критерий]]. <br> <tex>X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right]; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_i=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_i\neq0.</tex> <br>
-
::22: <tex>\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий Шапиро-Уилка|Шапиро-Уилка]].
+
::Бескровный: <tex>\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий Шапиро-Уилка|Шапиро-Уилка]].
-
::23: <tex>\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=2, \;\; n=50.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий омега-квадрат|Смирнова-Крамера-фон Мизеса]].
+
::Поляков: <tex>\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=2, \;\; n=50.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий омега-квадрат|Смирнова-Крамера-фон Мизеса]].
-
::30: <tex>\alpha=0.1, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=0\,:\,0.03\,:\,3, \;\; n=50.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий Лиллиефорса|Лиллиефорса]].
+
::Соколова: <tex>\alpha=0.1, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=0\,:\,0.03\,:\,3, \;\; n=50.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий Лиллиефорса|Лиллиефорса]].
* Двухвыборочная гипотеза о равенстве средних с предварительной проверкой нормальности. Если нормальность хотя бы одной из выборок отвергается на уровне значимости <tex>\alpha</tex>, используется [[критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]], иначе — критерий Аспина-Уэлша. <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim p_1\cdot N(0,1) + \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right] , \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim p_2\cdot N(\mu,1) + \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i};</tex> <br> <tex>\mu=0\,:\,0.02\,:\,2.</tex>
* Двухвыборочная гипотеза о равенстве средних с предварительной проверкой нормальности. Если нормальность хотя бы одной из выборок отвергается на уровне значимости <tex>\alpha</tex>, используется [[критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]], иначе — критерий Аспина-Уэлша. <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim p_1\cdot N(0,1) + \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right] , \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim p_2\cdot N(\mu,1) + \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i};</tex> <br> <tex>\mu=0\,:\,0.02\,:\,2.</tex>
-
::26: <tex>\alpha=0.05, \;\; p_1=0.9, \;\; n_1=20, \;\; a=2, \;\; p_2 = 0.8, \;\; n_2 = 15\,:\,5\,:\,200.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий Лиллиефорса|Лиллиефорса]].
+
::Харченко: <tex>\alpha=0.05, \;\; p_1=0.9, \;\; n_1=20, \;\; a=2, \;\; p_2 = 0.8, \;\; n_2 = 15\,:\,5\,:\,200.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий Лиллиефорса|Лиллиефорса]].
-
::27: <tex>\alpha=0.01, \;\; p_1=p_2=0.8, \;\; n_1=n_2=15 \,:\,5\,:\,200, \;\; a=1.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий омега-квадрат|Смирнова-Крамера-фон Мизеса]].
+
::Балицкий: <tex>\alpha=0.01, \;\; p_1=p_2=0.8, \;\; n_1=n_2=15 \,:\,5\,:\,200, \;\; a=1.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий омега-квадрат|Смирнова-Крамера-фон Мизеса]].
-
::28: <tex>\alpha=0.05, \;\; p_1=0.8, \;\; n_1=n_2=50, \;\; a=1, \;\; p_2 = 0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий Шапиро-Уилка|Шапиро-Уилка]].
+
::Довгаль: <tex>\alpha=0.05, \;\; p_1=0.8, \;\; n_1=n_2=50, \;\; a=1, \;\; p_2 = 0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий Шапиро-Уилка|Шапиро-Уилка]].
-
::29: <tex>\alpha=0.1, \;\; p_1=p_2=0.8, \;\; n_1=n_2=50, \;\; a=0\,:\,0.03\,:\,3.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий хи-квадрат|хи-квадрат]].
+
::Трофимов: <tex>\alpha=0.1, \;\; p_1=p_2=0.8, \;\; n_1=n_2=50, \;\; a=0\,:\,0.03\,:\,3.</tex> Нормальность проверяется критерием [[критерий хи-квадрат|хи-квадрат]].
* Двухвыборочная гипотеза о равенстве средних с предварительной проверкой равенства дисперсий. Равенство дисперсий проверяется критерием [[критерий Фишера|Фишера]], если оно отвергается на уровне значимости <tex>\alpha</tex>, используется критерий Аспина-Уэлша, иначе — [[критерий Стьюдента|t-критерий]] для неизвестных равных дисперсий.<br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i}.</tex> <br>
* Двухвыборочная гипотеза о равенстве средних с предварительной проверкой равенства дисперсий. Равенство дисперсий проверяется критерием [[критерий Фишера|Фишера]], если оно отвергается на уровне значимости <tex>\alpha</tex>, используется критерий Аспина-Уэлша, иначе — [[критерий Стьюдента|t-критерий]] для неизвестных равных дисперсий.<br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i}.</tex> <br>
-
::24: <tex>\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
+
::Папанов: <tex>\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
-
::25: <tex>\alpha=0.05, \;\; \mu=1, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.</tex>
+
::Мангатаев: <tex>\alpha=0.05, \;\; \mu=1, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.</tex>
 +
 
 +
= Ссылки =
 +
* [[Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)]]
 +
* [[Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2014, ФУПМ|Практические задания для студентов ФУПМ МФТИ (2014 год)]]
 +
* [[Участник:Riabenko|Контакты для отправки заданий]]
 +
<references/>
 +
 
 +
[[Категория:Учебные курсы]]

Версия 19:50, 24 февраля 2014

Ниже под обозначением X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,b\right] понимается выборка объёма n из смеси нормального N(\mu,\sigma^2) и равномерного U\left[-a,b\right] распределений с весами p и 1-p соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит p, то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).

Содержание

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого критерия.

  • X^n, \;\; X_i\sim Ber(p);
    H_0\,:\, p=\frac{1}{2},
    H_1\,:\, p\neq\frac{1}{2};
    p=0.01\,:\,0.01\,:\,0.99, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.
Старожилец: сравнить z-критерий и точный критерий для доли.
Вялый: сравнить критерии, основанные на доверительных интервалах Вальда и Уилсона (нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости 5%, если 95% доверительный интервал для параметра не содержит \frac{1}{2}).
  • X^n, \;\; X_i\sim N(\mu,\sigma);
    H_0\,: среднее значение X равно нулю,
    H_1\,: среднее значение X не равно нулю;
    \mu=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.
Гончаров: сравнить одновыборочные t- и z-критерии.
Каледин: сравнить одновыборочный t-критерий и критерий знаковых рангов Уилкоксона.
Капаев: сравнить одновыборочный перестановочный критерий и критерий знаковых рангов Уилкоксона.
  • X_1^n, \;\; X_{1i} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\;\;X_2^n, \;\; X_{2i} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);
    H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i},
    H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i};
    \mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.
Коновалов: \mu_2=0, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50. Сравнить критерий Фишера и WM-критерий.
Кузнецов: \mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=50. Сравнить WM-критерий и критерий Зигеля-Тьюки.
Петров: \mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=20. Сравнить критерий Фишера и критерий Зигеля-Тьюки.
  • X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,a\right];
    H_0\,:\; X_i \sim N,
    H_1\,:\; H_0 неверна;
    n=10\,:\,5\,:\,100.
Хрипко: a=1, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1. Сравнить критерий Шапиро-Уилка и критерий Колмогорова-Смирнова.
Шепелев: a=2, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1. Сравнить критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса и критерий Жарка-Бера.
Вдовина: a=0.5\,:\,0.1\,:\,5, \;\; p=0.25. Сравнить критерий Колмогорова-Смирнова и критерий хи-квадрат.

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.

  • Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
    X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_i=0
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_i\neq0.
Воронов: \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.
Гринчук: \mu=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.
Катруца: \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=1, \;\; n=150.
Кащеева: \mu=0.5, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=0.1\,:\,0.1\,:\,5, \;\; n=100.
  • Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
    X_1^n, \;\; X_{1i} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right], \;\; X_2^n,\;\; X_{2i} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a,a\right];
    H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i},
    H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i};
    \sigma_1=2, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.05\,:\,4.
Костин: p_1=p_2=0.8, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.
Неклюдов: p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=3, \;\; n=100.
Перекрестенко: \mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=50.
Пушняков: \mu=2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.
  • Двухвыборочный t-критерий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i}.
Рыскина: \mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=n_2=50.
Яшков: \mu=1, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.

Анализ двухэтапных процедур проверки гипотез

Требуется построить описанную двухэтапную процедуру проверки гипотез и сравнить вероятности совершения ей ошибок первого и второго рода с аналогичными показателями каждого из критериев второго этапа. Сделать выводы о корректности применения двухэтапной процедуры.

  • Одновыборочная гипотеза о среднем с предварительной проверкой нормальности. Если нормальность отвергается на уровне значимости \alpha, используется критерий знаковых рангов, иначе — t-критерий.
    X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_i=0
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_i\neq0.
Бескровный: \alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200. Нормальность проверяется критерием Шапиро-Уилка.
Поляков: \alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=2, \;\; n=50. Нормальность проверяется критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса.
Соколова: \alpha=0.1, \;\; \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=0\,:\,0.03\,:\,3, \;\; n=50. Нормальность проверяется критерием Лиллиефорса.
  • Двухвыборочная гипотеза о равенстве средних с предварительной проверкой нормальности. Если нормальность хотя бы одной из выборок отвергается на уровне значимости \alpha, используется критерий Уилкоксона-Манна-Уитни, иначе — критерий Аспина-Уэлша.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim p_1\cdot N(0,1) + \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right] , \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim p_2\cdot N(\mu,1) + \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i};
    \mu=0\,:\,0.02\,:\,2.
Харченко: \alpha=0.05, \;\; p_1=0.9, \;\; n_1=20, \;\; a=2, \;\; p_2 = 0.8, \;\; n_2 = 15\,:\,5\,:\,200. Нормальность проверяется критерием Лиллиефорса.
Балицкий: \alpha=0.01, \;\; p_1=p_2=0.8, \;\; n_1=n_2=15 \,:\,5\,:\,200, \;\; a=1. Нормальность проверяется критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса.
Довгаль: \alpha=0.05, \;\; p_1=0.8, \;\; n_1=n_2=50, \;\; a=1, \;\; p_2 = 0\,:\,0.01\,:\,1. Нормальность проверяется критерием Шапиро-Уилка.
Трофимов: \alpha=0.1, \;\; p_1=p_2=0.8, \;\; n_1=n_2=50, \;\; a=0\,:\,0.03\,:\,3. Нормальность проверяется критерием хи-квадрат.
  • Двухвыборочная гипотеза о равенстве средних с предварительной проверкой равенства дисперсий. Равенство дисперсий проверяется критерием Фишера, если оно отвергается на уровне значимости \alpha, используется критерий Аспина-Уэлша, иначе — t-критерий для неизвестных равных дисперсий.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i}.
Папанов: \alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=n_2=50.
Мангатаев: \alpha=0.05, \;\; \mu=1, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.

Ссылки

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%2C_%D0%9A.%D0%92.%D0%92%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%BE%D0%B2%29/2014%2C_%D0%A4%D0%A3%D0%9F%D0%9C/1»
Личные инструменты