Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона двухвыборочный

Материал из MachineLearning.

< Участник:Василий Ломакин(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
 
(20 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
-
'''Критерий Уилкоксона двухвыборочный''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Выборки взяты из закона распределения, отличного от нормального, либо данные измерены с использованием нечисловой шкалы. Метод следует использовать, когда нет информации о дисперсии выборок. В случае равных дисперсий следует применять более мощный [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]]. Имеется [[Критерий_Уилкоксона_для_связных_выборок|аналог]] критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений.
+
{{TOCright}}
 +
 
 +
'''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием [[Теория измерений|порядковой шкалы]]. Имеется [[Критерий_Уилкоксона_для_связных_выборок|аналог]] критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является [[Ранговый критерий|ранговым]], поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
== Пример задачи ==
== Пример задачи ==
 +
 +
Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является [[Теория измерений|порядковой]]).
== Описание критерия ==
== Описание критерия ==
Строка 7: Строка 11:
Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R};\; m \le n,</tex> в противном случае следует поменять выборки местами.
Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R};\; m \le n,</tex> в противном случае следует поменять выборки местами.
-
'''Дополнительное предположение:''' обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
+
'''Дополнительные предположения:''' обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
-
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; </tex> обе выборки имеют одинаковое распеределение, то есть извлечены из одной генеральной совокупности. Следствием этого является равенство средних.
+
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{ x\ <\ y \} = 1/2. </tex>
'''Вычисление статистики критерия:'''
'''Вычисление статистики критерия:'''
Строка 16: Строка 20:
#:<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);</tex>
#:<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);</tex>
#:<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);</tex>
#:<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);</tex>
-
# Если размеры выборок совпадают (<tex>m=n</tex>), то значение статистики <tex>W</tex> будет равняется одной из сумм рангов <tex>R_x</tex> или <tex>R_y</tex> (любой).
+
# Если размеры выборок совпадают (<tex>m=n</tex>), то значение статистики <tex>W</tex> будет равняется одной из сумм рангов <tex>R_x</tex> или <tex>R_y</tex> (любой). Если же выборки не равны, то <tex>W = R_x</tex>, то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика <tex>W</tex> линейно связана со статистикой [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерия Манна-Уитни]].
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-
Против альтернативы <tex>H_1:\;</tex> ????
+
Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x\ <\ y \} \neq 1/2</tex>:
-
:если <tex>W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]</tex> , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь <tex>W_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона с параметрами <tex>m,\,n</tex>.
+
:если <tex>W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]</tex> , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь <tex>W_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона с параметрами <tex>m,\,n</tex>. <ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 457 c.</ref><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 150 с.</ref>
-
'''Асимптотический критерий''':
+
'''Асимптотический критерий:'''
 +
 
 +
[[Изображение:Standard_Normal_Density_-_Double-sided_Critical_Area.png|thumb|Критическая область двухвыборочного критерия Уилкоксона.]]
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
-
:<tex>\tilde W = \frac{2W - m(m + n + 1) + 1}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{3}}}</tex>;
+
:<tex>\tilde W = \frac{W - \frac{m(m + n + 1)}{2}}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{12}}}</tex>;
 +
 
 +
<tex>\tilde W</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> |\tilde W|\ >\ \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, где <tex>\Phi_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
 +
 
 +
Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до <tex>m = n = 8</tex>.<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.</ref>
 +
 
 +
'''Случай совпадающих наблюдений:'''
 +
 
 +
При наличии [[Вариационный ряд|связок]] необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:
 +
 
 +
:<tex>\left{ \frac{mn(n+m+1)}{12} \left[ 1 - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m+1)} \right] \right}^{1/2}.</tex><ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.</ref><ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.</ref>
 +
 
 +
:Здесь <tex>k</tex> - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, <tex>t_1, \ldots, t_k</tex> - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину <tex>\tilde W</tex> не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1. Для элементов связок вычисляется [[Вариационный ряд|средний ранг]].
 +
 
 +
'''Поправка:'''<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 205-206 с.</ref>
 +
 
 +
В 1976 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений, в том числе на малых выборках. Поправка использует полусумму нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим <tex>N = n + m</tex>. Тогда:
 +
 
 +
:<tex>\tilde W^{*} = \frac12 \tilde W \left[ 1 + \sqrt{(n-2)(n - 1 - (\tilde W)^2)} \right]</tex>.
 +
 
 +
Гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается, если <tex>\tilde W ^{*} \ge (x_{1-\alpha}+y_{1-\alpha})/2</tex>, где <tex>x_{1-\alpha},\; y_{1-\alpha}</tex> обозначают соответственно квантили уровня <tex>1-\alpha</tex> стандартного нормального распределения и [[Распределение Стьюдента|распределения Стьюдента]] с <tex>N-2</tex> степенью свободы.
 +
 
 +
== Применение критерия ==
 +
 
 +
В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда <tex>\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2</tex>, и средние выборок не совпадают.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.</ref> При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.</ref>
 +
 
 +
Критерий является аналогом критерия [[Критерий Стьюдента|t-критерия Стьюдента для независимых выборок]] в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.
 +
 
 +
== Критерий Уилкоксона и [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]] ==
 +
 
 +
Статистики критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.</ref> Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Уилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.</ref>, а в случае равных дисперсий применять [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.</ref>
 +
 
 +
Проведём эксперимент: будем строить график [[Достигаемый уровень значимости|достигаемого уровня значимости]] как функцию размера выборок и параметров распределения. Будем усреднять p-value по нескольким десяткам экспериментов.
 +
 
 +
Общие параметры для всех экспериментов:
 +
* Выборки генерируются независимо из нормального распределения с заданными параметрами.
 +
* Размер выборок варьируется от 50 до 500 с шагом 50.
 +
* Значение p-value усредняется по 50 экспериментам.
 +
* Размер выборки откладывается по вертикальной оси, переменный параметр по горизонтальной.
 +
 
 +
 
 +
{| class="standard"
 +
!Тип критерия
 +
!Параметры эксперимента
 +
!График
 +
|-
 +
|align="center"|[[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]]
 +
|Среднее первой выборки: 0.
 +
 
 +
Среднее второй выборки: -3:0.3:3.<ref>Запись вида <tex>\alpha\;:\;\delta\;:\;\beta</tex> на языке [[Matlab]] обозначает выборку, составленную из чисел от <tex>\alpha</tex> до <tex>\beta</tex> c шагом <tex>\delta</tex>.</ref>
 +
 
 +
Дисперсия первой выборки: 5.
 +
 
 +
Дисперсия второй выборки: 5.
 +
 
 +
|[[Изображение:UNorm_50-50-1000_0_-3-0.3-3_5_5_50.png|400px]]
 +
|-
 +
|align="center"|Критерий Уилкоксона
 +
|Среднее первой выборки: 0.
 +
 
 +
Среднее второй выборки: -3:0.3:3.
 +
 
 +
Дисперсия первой выборки: 5.
 +
 
 +
Дисперсия второй выборки: 5.
 +
 
 +
|[[Изображение:WNorm 50-50-1000 0 -3-0.3-3 5 5 50.png|400px]]
 +
|-
 +
|align="center"|[[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]]
 +
|Среднее первой выборки: 0.
 +
 
 +
Среднее второй выборки: -30:3:30.
 +
 
 +
Дисперсия первой выборки: 1.
 +
 
 +
Дисперсия второй выборки: 50.
 +
 
 +
|[[Изображение:UNorm 50-50-1000 0 -30-3-30 1 50 50.png|400px]]
 +
|-
-
<tex>\tilde W</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> |\tilde W| > \Phi_{1-\alpha/2} </tex>. <tex>\Phi_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
+
|align="center"|Критерий Уилкоксона
 +
|Среднее первой выборки: 0.
-
Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до <tex>m = n = 8</tex>.
+
Среднее второй выборки: -30:3:30.
-
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:
+
Дисперсия первой выборки: 1.
-
:<tex>\frac{mn}{12}(m + n + 1) - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(m + n)(m + n + 1)},</tex>
+
Дисперсия второй выборки: 50.
-
:где <tex>k</tex> - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, <tex>t_1, \ldots, t_k</tex> - их размеры.
+
|[[Изображение:WNorm 50-50-1000 0 -30-3-30 1 50 50.png|400px]]
 +
|}
-
== Свойства и границы применимости критерия ==
+
Легко видеть, что при одинаковых параметрах экспериментов графики p-value критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни практически совпадают, в том числе и в случае, когда дисперсии выборок существенно различаются.
-
== История ==
+
== Примечания ==
 +
<references/>
== Литература ==
== Литература ==
# ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
# ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
# ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
# ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
 +
# ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
 +
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 454-456 с.
== Ссылки ==
== Ссылки ==
 +
* [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]] — аналогичный критерий.
* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
 +
* [[Критерий Уилкоксона для связных выборок]] — аналог критерия для случая парных повторных наблюдений.

Текущая версия

Содержание

Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочныйнепараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Имеется аналог критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Пример задачи

Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является порядковой).

Описание критерия

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R};\; m \le n, в противном случае следует поменять выборки местами.

Дополнительные предположения: обе выборки простые, объединённая выборка независима;

Нулевая гипотеза H_0:\; \mathbb{P} \{ x\ <\ y \} = 1/2.

Вычисление статистики критерия:

  1. Построить общий вариационный ряд объединённой выборки x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)} и найти ранги r(x_i),\; r(y_i) всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
  2. Рассчитать суммы рангов, соответствующих обеим выборкам:
    R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);
    R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);
  3. Если размеры выборок совпадают (m=n), то значение статистики W будет равняется одной из сумм рангов R_x или R_y (любой). Если же выборки не равны, то W = R_x, то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика W линейно связана со статистикой U-критерия Манна-Уитни.

Критерий (при уровне значимости \alpha):

Против альтернативы H_1:\; \mathbb{P} \{ x\ <\ y \} \neq 1/2:

если W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right] , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь W_{\alpha} есть \alpha-квантиль табличного распределения Уилкоксона с параметрами m,\,n. [1][2]

Асимптотический критерий:

Критическая область двухвыборочного критерия Уилкоксона.
Критическая область двухвыборочного критерия Уилкоксона.

Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:

\tilde W = \frac{W - \frac{m(m + n + 1)}{2}}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{12}}};

\tilde W асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы H_1) отвергается, если  |\tilde W|\ >\ \Phi_{1-\alpha/2} , где \Phi_{\alpha} есть \alpha-квантиль стандартного нормального распределения.

Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до m = n = 8.[3]

Случай совпадающих наблюдений:

При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:

\left{ \frac{mn(n+m+1)}{12} \left[ 1 - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m+1)} \right] \right}^{1/2}.[4][5]
Здесь k - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, t_1, \ldots, t_k - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину \tilde W не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1. Для элементов связок вычисляется средний ранг.

Поправка:[6]

В 1976 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений, в том числе на малых выборках. Поправка использует полусумму нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим N = n + m. Тогда:

\tilde W^{*} = \frac12 \tilde W \left[ 1 + \sqrt{(n-2)(n - 1 - (\tilde W)^2)} \right].

Гипотеза H_0 отвергается, если \tilde W ^{*} \ge (x_{1-\alpha}+y_{1-\alpha})/2, где x_{1-\alpha},\; y_{1-\alpha} обозначают соответственно квантили уровня 1-\alpha стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с N-2 степенью свободы.

Применение критерия

В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда \mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2, и средние выборок не совпадают.[7] При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.[8]

Критерий является аналогом критерия t-критерия Стьюдента для независимых выборок в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.

Критерий Уилкоксона и U-критерий Манна-Уитни

Статистики критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.[9] Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Уилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,[10], а в случае равных дисперсий применять U-критерий Манна-Уитни.[11]

Проведём эксперимент: будем строить график достигаемого уровня значимости как функцию размера выборок и параметров распределения. Будем усреднять p-value по нескольким десяткам экспериментов.

Общие параметры для всех экспериментов:

  • Выборки генерируются независимо из нормального распределения с заданными параметрами.
  • Размер выборок варьируется от 50 до 500 с шагом 50.
  • Значение p-value усредняется по 50 экспериментам.
  • Размер выборки откладывается по вертикальной оси, переменный параметр по горизонтальной.


Тип критерия Параметры эксперимента График
U-критерий Манна-Уитни Среднее первой выборки: 0.

Среднее второй выборки: -3:0.3:3.[12]

Дисперсия первой выборки: 5.

Дисперсия второй выборки: 5.

Критерий Уилкоксона Среднее первой выборки: 0.

Среднее второй выборки: -3:0.3:3.

Дисперсия первой выборки: 5.

Дисперсия второй выборки: 5.

U-критерий Манна-Уитни Среднее первой выборки: 0.

Среднее второй выборки: -30:3:30.

Дисперсия первой выборки: 1.

Дисперсия второй выборки: 50.

Критерий Уилкоксона Среднее первой выборки: 0.

Среднее второй выборки: -30:3:30.

Дисперсия первой выборки: 1.

Дисперсия второй выборки: 50.

Легко видеть, что при одинаковых параметрах экспериментов графики p-value критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни практически совпадают, в том числе и в случае, когда дисперсии выборок существенно различаются.

Примечания

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 457 c.
  2. Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 150 с.
  3. Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.
  4. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.
  5. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.
  6. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 205-206 с.
  7. Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.
  8. Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.
  9. Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.
  10. Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.
  11. Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.
  12. Запись вида \alpha\;:\;\delta\;:\;\beta на языке Matlab обозначает выборку, составленную из чисел от \alpha до \beta c шагом \delta.

Литература

  1. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
  2. Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
  3. Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
  4. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 454-456 с.

Ссылки