Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона двухвыборочный

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 21:02, 12 декабря 2009

Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Имеется аналог критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений.

Пример задачи

Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является порядковой).

Описание критерия

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R};\; m \le n,$ в противном случае следует поменять выборки местами.

Дополнительное предположение: обе выборки простые, объединённая выборка независима;

Нулевая гипотеза $H_0:\; \mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2.$

Вычисление статистики критерия:

Построить общий вариационный ряд объединённой выборки $x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}$ и найти ранги $r(x_i),\; r(y_i)$ всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
Рассчитать суммы рангов, соответствующих обеим выборкам:
$R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);$
$R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);$
Если размеры выборок совпадают ( $m=n$ ), то значение статистики $W$ будет равняется одной из сумм рангов $R_x$ или $R_y$ (любой). Если же выборки не равны, то $W = R_x$ , то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

Против альтернативы $H_1:\; \mathbb{P} \{ x < y \} \neq 1/2$ :

если $W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь $W_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль табличного распределения Уилкоксона с параметрами $m,\,n$ .

Асимптотический критерий:

Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:

$\tilde W = \frac{W - \frac{m(m + n + 1)}{2}}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{12}}}$ ;

$\tilde W$ асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы $H_1$ ) отвергается, если $|\tilde W| > \Phi_{1-\alpha/2}$ , где $\Phi_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до $m = n = 8$ .^[1]

При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:

$\left{ \frac{mn(n+m+1)}{12} \left[ 1 - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m+1)} \right] \right}^{1/2}$ ^[2]^[3]

где $k$ - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, $t_1, \ldots, t_k$ - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину $\tilde W$ не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1.

Применение критерия

В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок в случае, когда нет предположений о дисперсиях.^[4] В случае равных дисперсий рекомендуется применять U-критерий Манна-Уитни.^[5] Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда $\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2$ , и медианы выборок не совпадают. При этом можно сказать, что недостатки критерия Уилкоксона не являются исключением, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны.^[6] При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.

Примечания

↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.
↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.
↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.
↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.
↑ Орлов А. И. Эконометрика. — §4.5

Литература

Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 454 с.

Ссылки

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни
Критерий Уилкоксона для связных выборок

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%92%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D0%B8%D0%BD/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Выборки взяты из закона распределения, отличного от нормального, либо данные измерены с использованием [[Теория измерений|качественной шкалы]]. Метод следует использовать, когда нет информации о дисперсии выборок. В случае равных дисперсий следует применять более мощный [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]]. Имеется [[Критерий_Уилкоксона_для_связных_выборок|аналог]] критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений.
+'''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием [[Теория измерений|порядковой шкалы]].  Имеется [[Критерий_Уилкоксона_для_связных_выборок|аналог]] критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений.
 == Пример задачи ==
-Подготовка роженицы к родам - см Лапач стр. 118.
+Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является [[Теория измерений|порядковой]]).
 == Описание критерия ==
@@ Строка 10: / Строка 11: @@
 '''Дополнительное предположение:''' обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
-'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; </tex> обе выборки имеют одинаковое распеределение, то есть извлечены из одной генеральной совокупности. Следствием этого является равенство средних.
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2. </tex>
 '''Вычисление статистики критерия:'''
@@ Строка 17: / Строка 18: @@
 #:<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);</tex>
 #:<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);</tex>
-# Если размеры выборок совпадают (<tex>m=n</tex>), то значение статистики <tex>W</tex> будет равняется одной из сумм рангов <tex>R_x</tex> или <tex>R_y</tex> (любой).
+# Если размеры выборок совпадают (<tex>m=n</tex>), то значение статистики <tex>W</tex> будет равняется одной из сумм рангов <tex>R_x</tex> или <tex>R_y</tex> (любой). Если же выборки не равны, то <tex>W = R_x</tex>, то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке.
 '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-Против альтернативы <tex>H_1:\;</tex> ????
+Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x < y \} \neq 1/2</tex>:
 :если <tex>W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]</tex> , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь <tex>W_{\alpha}</tex>  есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона с параметрами <tex>m,\,n</tex>.
@@ Строка 29: / Строка 30: @@
 Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
-:<tex>\tilde W = \frac{2W - m(m + n + 1) + 1}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{3}}}</tex>;
+:<tex>\tilde W = \frac{W - \frac{m(m + n + 1)}{2}}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{12}}}</tex>;
 <tex>\tilde W</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> |\tilde W| > \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, где <tex>\Phi_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
-Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до <tex>m = n = 8</tex>.
+Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до <tex>m = n = 8</tex>.<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.</ref>
+При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:
-При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:
+:<tex>\left{ \frac{mn(n+m+1)}{12} \left[ 1 - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m+1)} \right] \right}^{1/2}</tex><ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.</ref><ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.</ref>
-:<tex>\frac{mn}{12}(m + n + 1) - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(m + n)(m + n + 1)},</tex>
+:где <tex>k</tex> - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, <tex>t_1, \ldots, t_k</tex> - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину <tex>\tilde W</tex> не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1.
-:где <tex>k</tex> - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, <tex>t_1, \ldots, t_k</tex> - их размеры.
+== Применение критерия ==
-== Свойства и границы применимости критерия ==
+В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок в случае, когда нет предположений о дисперсиях.<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.</ref> В случае равных дисперсий рекомендуется применять [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.</ref> Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда <tex>\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2</tex>, и медианы выборок не совпадают. При этом можно сказать, что недостатки критерия Уилкоксона не являются исключением, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны.<ref>''Орлов А. И.'' Эконометрика. — §4.5</ref> При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.
-== История ==
+== Примечания ==
+<references/>
 == Литература ==
 # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
 # ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
-# ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с. (§4.5. Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?)
+# ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с.
+# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 454 с.
 == Ссылки ==
 * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
+* [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]]
+* [[Критерий Уилкоксона для связных выборок]]

Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона двухвыборочный

Материал из MachineLearning.

Версия 21:02, 12 декабря 2009

Содержание

Пример задачи

Описание критерия

Применение критерия

Примечания

Литература

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты