Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона для связных выборок
Материал из MachineLearning.
| Строка 9: | Строка 9: | ||
# Вычисление рангов для связок | # Вычисление рангов для связок | ||
| - | '''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) для связных выборок''' (Wilcoxon signed-rank test) — [[непараметрический статистический критерий]], применяемый для оценки | + | '''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) для связных выборок''' (Wilcoxon signed-rank test) — [[непараметрический статистический критерий]], применяемый для оценки различий между двумя '''зависимыми''' выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
== Пример задачи == | == Пример задачи == | ||
| + | Какой-нибудь простой пример проверки на равенство средних в случае зависимых выборок | ||
== Описание критерия == | == Описание критерия == | ||
| Строка 36: | Строка 33: | ||
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): | '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): | ||
| - | Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i | + | Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i < y_i \} \neq 1/2</tex>: |
: если <tex>R</tex> больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона <tex>T^{+}</tex> с уровнем значимости <tex>\alpha/2</tex> и числом степеней свободы <tex>N</tex>, то нулевая гипотеза отвергается. | : если <tex>R</tex> больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона <tex>T^{+}</tex> с уровнем значимости <tex>\alpha/2</tex> и числом степеней свободы <tex>N</tex>, то нулевая гипотеза отвергается. | ||
| Строка 45: | Строка 42: | ||
:<tex>\tilde T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>; | :<tex>\tilde T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>; | ||
| - | <tex>\tilde T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Аппроксимация начинает | + | <tex>\tilde T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Аппроксимация начинает работать при <tex>N \ge 20</tex>. |
| - | При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение | + | При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее: |
| - | :<tex>\frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24},</tex> | + | :<tex>\left{ \frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24} \right}^{1/2},</tex> |
:где <tex>g</tex> - количество связок, <tex>t_1, \ldots, t_g</tex> - их размеры. | :где <tex>g</tex> - количество связок, <tex>t_1, \ldots, t_g</tex> - их размеры. | ||
| Строка 66: | Строка 63: | ||
== История == | == История == | ||
Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание [[Критерий_Уилкоксона_двухвыборочный|аналогичного метода]] для случая независимых выборок. | Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание [[Критерий_Уилкоксона_двухвыборочный|аналогичного метода]] для случая независимых выборок. | ||
| + | |||
| + | == Примечания == | ||
| + | <references/> | ||
== Литература == | == Литература == | ||
Версия 18:24, 14 декабря 2009
TODO:
- Пример
- Критерий для коротких выборок
- Свойства и границы применимости критерия
- Всё ли я извлёк из обоих книг?
- Дополнительные предположения
- Ссылка на что такое связки
- Иллюстрации - критическая область, мощность и т.п.
- Вычисление рангов для связок
Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) для связных выборок (Wilcoxon signed-rank test) — непараметрический статистический критерий, применяемый для оценки различий между двумя зависимыми выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Содержание |
Пример задачи
Какой-нибудь простой пример проверки на равенство средних в случае зависимых выборок
Описание критерия
Заданы две выборки .
Дополнительные предположения:
- Обе выборки простые.
- Выборки связные, то есть элементы
соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).
Вычисление статистики критерия:
- Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются.
- количество ненулевых разностей.
- Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
- Приписать рангам знаки соответствующих им разностей.
- Рассчитать сумму
положительных рангов.
Критерий (при уровне значимости ):
Против альтернативы :
- если
с уровнем значимости
и числом степеней свободы
Асимптотический критерий:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
;
асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Аппроксимация начинает работать при
.
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:
- где
- количество связок,
- их размеры.
Другие гипотезы:
средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.
средняя разница не равна A.
В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме.
Свойства и границы применимости критерия
м?
История
Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание аналогичного метода для случая независимых выборок.
Примечания
Литература
- Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с.
Ссылки
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни
- Wilcoxon signed-rank test (Wikipedia).
