Участник:Slimper/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 17:46, 7 января 2010

Критерий Бартелса (Bartels test) — непараметрический статистический критерий, используемый для проверки случайности ряда наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Основной областью применений критерия Бартелса является анализ временных рядов.

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
- 2.1 Асимптотический критерий
3 Свойства критерия Ван дер Вардена
4 Многовыборочное обобщение критерия Ван дер Вардена
5 История
6 Литература
7 См. также
8 Ссылки

Примеры задач

Пример 1. Ряд значений состоит из подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, въезжавших в страну в течение года. Требуется установить, является ли изменение числа туристов случайным, или оно подчиняется какой-то закономерности.

Описание критерия

Заданы выборка $x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}$ .

Нулевая гипотеза $H_0:\;$ — выборка $x^n$ - простая, то есть все наблюдения $x_i$ — независимы и одинаково распределены.

Статистика критерия:

Построить вариационный ряд выборки $x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n)$ и найти ранги всех $r(x_i)$ элементов.
Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:

$B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}$

Варианты критерия (при уровне значимости $\alpha$ ):

двусторонний критерий

если $B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается;

левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)

если $B < B_{n,\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)

если $B > B_{n,\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

Здесь $B_{n,\alpha}$ -- это $\alpha$ -квантиль табличного распределения статистики Бартелса с параметром $n$ .

Асимптотический критерий

Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально с матожиданием $\mathbb{E}X = 2$ и дисперсией

$\mathbb{D}X = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2}$

Нормальную аппроксимацию статистики Бартелса можно использовать при $n \ge 20$ .

Свойства критерия Ван дер Вардена

Если выборки подчиняются нормальному распределению, то критерий Ван дер Вардена асимптотически имеет ту же мощность, что и критерий Стьюдента.

При $n + m \to \infty$ критерий Ван дер Вардена не уступает в эффективности критерию Стьюдента

Многовыборочное обобщение критерия Ван дер Вардена

Заданы k выборок: $x_1^{n_1}=\left\{x_{11},\dots,x_{1n_1}\right\}, \dots, x_k^{n_k}=\left\{x_{k1},\dots,x_{kn_k}\right\}$ . Объединённая выборка: $z=x_1^{n_1}\cup x_2^{n_2}\cup \dots \cup x_k^{n_k}$ .

Дополнительные предположения:

все выборки простые, объединённая выборка независима;
выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F_1(x),\dots,F_k(x)$ .

Статистика критерия: Все $N=\sum_{i=1}^k n_i$ элементов выборок упорядочиваются по возрастанию, через $R_{ij}$ обозначается ранг j-го элемента i-й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика Ван дер Вардена имеет вид

$T = \left(\sum_{i = 1}^N u^2( \frac{i}{N + 1} ) \right)^{-1} (N - 1) \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{n_i} \left( \sum_{j=1}^{n_i} u^2( \frac{R_{ij}}{N + 1} ) \right)^2$

Проверяется нулевая гипотеза $H_0:\; F_1(x)=\dots=F_k(x)$ против альтернативы $H_1:\; F_1(x)=F_2(x-\Delta_1)=\dots=F_k(x-\Delta_{k-1})$ .

Если нулевая гипотеза выполнена, то поведение статистики $T$ хорошо описывается распределением хи-квадарат с $k - 1$ степенью свободы.

Нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости $\alpha$ , если $T > \chi^2_{1 - \alpha, k - 1}$ , где $chi^2_{1 - \alpha, k - 1}$ — квантиль уровня $1 -\alpha$ с $k - 1$ степенью свободы.

История

Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.

Литература

Gibbons J. D., Chakraborti S. Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Критерий серий — другой критерий для проверки случайности ряда наблюдений

Ссылки

[

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Slimper

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 08 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Slimper/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категории: Статистические тесты | Непараметрические статистические тесты | Непроверенные учебные задания

@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 == Описание критерия ==
+Заданы выборка <tex>x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}</tex>.
-Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\;</tex> —  выборка <tex>x^n</tex> - [[простая выборка|простая]], то
+есть все наблюдения <tex>x_i</tex> — независимы и одинаково распределены.
-'''Дополнительные предположения:'''
-* обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
-* выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений <tex>F(x)</tex> и <tex>G(y)</tex> соответственно.
-'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; F(x) = G(y)</tex>.
 '''Статистика критерия:'''
-# Построить общий [[вариационный ряд]] объединённой выборки <tex>z^{(1)} \leq \cdots \leq z^{(m+n)}</tex> и найти ранги <tex>r(x_i)</tex> элементов первой выборки в общем вариационном ряду.
+# Построить [[вариационный ряд]] выборки <tex>x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n)</tex> и найти ранги всех <tex>r(x_i)</tex> элементов.
-# Статистика критерия Ван дер Вардена вычисляется по формуле:
+# Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:
-<tex>X = \sum_{i = 1}^n u( \frac{r(x_i)}{ m + n + 1} )</tex>, где
+::<tex>B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}</tex>
-<tex>u( \frac{r(x_i)}{ m + n + 1} )</tex> — [[квантиль]] уровня
-<tex>\frac{r(x_i)}{ m + n + 1}</tex>
-[[нормальное распределение| стандартного нормального распределения]]
-'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
+Варианты критерия (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-*  двусторонний критерий — против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} \neq 1/2</tex>
+*  двусторонний критерий
-::если <tex> X \notin \left[ X_{\alpha/2},\, X_{1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+::если <tex> B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
-* односторонний критерий -- против альтернативы <tex>H'_1:\; \mathbb{P} \{ x>y \} > 1/2</tex>
+* левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)
-::если <tex> X_> X_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+::если <tex> B < B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+* правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)
+::если <tex> B > B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
-Здесь <tex> X_{\alpha} </tex> -- это <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения  статистики Ван дер Вардена с параметрами <tex>m,\,n</tex>.
+Здесь <tex> B_{n,\alpha} </tex> -- это <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения  статистики Бартелса с параметром <tex>n</tex>.
 ===Асимптотический критерий ===
-Распределение статистики Ван дер Вардена асимптотически нормально
+Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально
-с нулевым матожиданием <tex>\mathbb{E}X = 0</tex> и дисперсией
+с матожиданием <tex>\mathbb{E}X = 2</tex> и дисперсией
-::<tex> \mathbb{D}X = \frac{mn}{(m + n)(m + n - 1)} \sum_{i = 1}^{m + n} u^2( \frac{i}{m + n + 1} ) </tex>
+::<tex> \mathbb{D}X = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2} </tex>
-Нормальную аппроксимацию статистики Ван дер Вардена можно использовать при
-<tex> m, n \geqslant 20</tex>.
-В этом случае критерии (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>)
-будет выглядеть следующим образом:
-*  двусторонний критерий <tex> \frac{X}{\mathbb{D}X} \notin \left[ u_{\alpha/2},\, u_{1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
-* односторонний критерий -- против альтернативы <tex>H'_1:\; \mathbb{P} \{ x>y \} > 1/2</tex>
+Нормальную аппроксимацию статистики Бартелса можно использовать при
-::если <tex> \frac{X}{\mathbb{D}X}> u_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+<tex>n \ge 20</tex>.
 == Свойства критерия Ван дер Вардена ==