Участник:Slimper/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия от 16:55, 7 января 2010; Slimper (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Критерий Бартелса (Bartels test) — непараметрический статистический критерий, используемый для проверки случайности ряда наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Основной областью применений критерия Бартелса является анализ временных рядов.

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
- 2.1 Асимптотический критерий
3 Свойства критерия Ван дер Вардена
4 Многовыборочное обобщение критерия Ван дер Вардена
5 История
6 Литература
7 См. также
8 Ссылки

Примеры задач

Пример 1. Ряд значений состоит из подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, въезжавших в страну в течение года. Требуется установить, является ли изменение числа туристов случайным, или оно подчиняется какой-то закономерности.

Описание критерия

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

обе выборки простые, объединённая выборка независима;
выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F(x)$ и $G(y)$ соответственно.

Нулевая гипотеза $H_0:\; F(x) = G(y)$ .

Статистика критерия:

Построить общий вариационный ряд объединённой выборки $z^{(1)} \leq \cdots \leq z^{(m+n)}$ и найти ранги $r(x_i)$ элементов первой выборки в общем вариационном ряду.
Статистика критерия Ван дер Вардена вычисляется по формуле:

$X = \sum_{i = 1}^n u( \frac{r(x_i)}{ m + n + 1} )$ , где $u( \frac{r(x_i)}{ m + n + 1} )$ — квантиль уровня $\frac{r(x_i)}{ m + n + 1}$ стандартного нормального распределения

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

двусторонний критерий — против альтернативы $H_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} \neq 1/2$

если $X \notin \left[ X_{\alpha/2},\, X_{1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается;

односторонний критерий -- против альтернативы $H'_1:\; \mathbb{P} \{ x>y \} > 1/2$

если $X_> X_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

Здесь $X_{\alpha}$ -- это $\alpha$ -квантиль табличного распределения статистики Ван дер Вардена с параметрами $m,\,n$ .

Асимптотический критерий

Распределение статистики Ван дер Вардена асимптотически нормально с нулевым матожиданием $\mathbb{E}X = 0$ и дисперсией

$\mathbb{D}X = \frac{mn}{(m + n)(m + n - 1)} \sum_{i = 1}^{m + n} u^2( \frac{i}{m + n + 1} )$

Нормальную аппроксимацию статистики Ван дер Вардена можно использовать при $m, n \geqslant 20$ .

В этом случае критерии (при уровне значимости $\alpha$ ) будет выглядеть следующим образом:

двусторонний критерий $\frac{X}{\mathbb{D}X} \notin \left[ u_{\alpha/2},\, u_{1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается;

односторонний критерий -- против альтернативы $H'_1:\; \mathbb{P} \{ x>y \} > 1/2$

если $\frac{X}{\mathbb{D}X}> u_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

Свойства критерия Ван дер Вардена

Если выборки подчиняются нормальному распределению, то критерий Ван дер Вардена асимптотически имеет ту же мощность, что и критерий Стьюдента.

При $n + m \to \infty$ критерий Ван дер Вардена не уступает в эффективности критерию Стьюдента

Многовыборочное обобщение критерия Ван дер Вардена

Заданы k выборок: $x_1^{n_1}=\left\{x_{11},\dots,x_{1n_1}\right\}, \dots, x_k^{n_k}=\left\{x_{k1},\dots,x_{kn_k}\right\}$ . Объединённая выборка: $z=x_1^{n_1}\cup x_2^{n_2}\cup \dots \cup x_k^{n_k}$ .

Дополнительные предположения:

все выборки простые, объединённая выборка независима;
выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F_1(x),\dots,F_k(x)$ .

Статистика критерия: Все $N=\sum_{i=1}^k n_i$ элементов выборок упорядочиваются по возрастанию, через $R_{ij}$ обозначается ранг j-го элемента i-й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика Ван дер Вардена имеет вид

$T = \left(\sum_{i = 1}^N u^2( \frac{i}{N + 1} ) \right)^{-1} (N - 1) \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{n_i} \left( \sum_{j=1}^{n_i} u^2( \frac{R_{ij}}{N + 1} ) \right)^2$

Проверяется нулевая гипотеза $H_0:\; F_1(x)=\dots=F_k(x)$ против альтернативы $H_1:\; F_1(x)=F_2(x-\Delta_1)=\dots=F_k(x-\Delta_{k-1})$ .

Если нулевая гипотеза выполнена, то поведение статистики $T$ хорошо описывается распределением хи-квадарат с $k - 1$ степенью свободы.

Нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости $\alpha$ , если $T > \chi^2_{1 - \alpha, k - 1}$ , где $chi^2_{1 - \alpha, k - 1}$ — квантиль уровня $1 -\alpha$ с $k - 1$ степенью свободы.

История

Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.

Литература

Gibbons J. D., Chakraborti S. Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Критерий серий — другой критерий для проверки случайности ряда наблюдений

Ссылки

[

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Slimper

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 08 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Slimper/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категории: Статистические тесты | Непараметрические статистические тесты | Непроверенные учебные задания